2  Números Reais

Axiomas e teoremas de corpo

Para \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\)

Axioma 2.1 (Comutatividade) \[a + b = b + a,\ ab = ba \quad \forall a,b \in \mathbb{R}\]

Axioma 2.9 (Associatividade) \[a + (b + c) = (a + b) + c,\ a(bc) = (ab)c\]

Axioma 2.8 (Distributividade) \[a(b + c) = ab + ac \quad\]

Axioma 2.7 (Elemento neutro) \[\exists !\ 0, 1 \in \mathbb{R} \mid a + 0 = a, \ 1a = a\]

Axioma 2.6 (Inverso aditivo) \[\forall a \in \mathbb{R} \exists !\ (-a) \in \mathbb{R} \mid a + (-a) = 0\]

Axioma 2.5 (Inverso multiplicativo) \[\forall a \in \mathbb{R} \exists !\ (a^{-1}) \in \mathbb{R} \mid a(a^{-1}) = 1\]

Teorema 2.1 (Simplificação para adição) \[ \forall a,b,c \in \mathbb{R} \mid a+b=a+c \Rightarrow b = c \]

Teorema 2.2 (Subtração) \[ \forall a,b \in \mathbb{R}\ \exists!\ x \in \mathbb{R} \mid a + (-x) = b \equiv a-x=b \]

Teorema 2.3 (Divisão) \[ \forall a,b \in \mathbb{R} \ \exists!\ x \in \mathbb{R} \mid xb=a, \ \frac{a}{x}=b, \ \frac{a}{b}=x \]

Teorema 2.4 (Soma de frações) \[ a,c \in \mathbb{R} \wedge b,d \in \mathbb{R}^* \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \quad \text{e} \quad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} \]

Teorema 2.5 (Frações Iguais) \[ \forall a,c \in \mathbb{R}, \ \forall b,d \in \mathbb{R}^* \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc \]

Proof. Temos que \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{b}-\frac{c}{d} = 0\) e por teorema 2.4 \(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{dc}=0 \Leftrightarrow ad-bc=0 \Leftrightarrow ad=bc\)

Teorema 2.6 (Recíproco de frações) \[ a, b \in \mathbb{R}^* \Rightarrow \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} \]

Proof. Pelo axioma 2.5 temos que \(\exists! x \in \mathbb{R}^* \mid \frac{a}{b}x=1 \Leftrightarrow ax=b \Leftrightarrow x = \frac{b}{a}\)

Teorema 2.7 (Produto de frações) \[ a \in \mathbb{R} \wedge b,c,d \in \mathbb{R}^* \Rightarrow \frac{a}{b}\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \quad \text{e} \quad \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \frac{d}{c} \]

Proof. Pelo axioma 2.5 \(\frac{a}{b}\frac{c}{d} = a\frac{1}{b}c\frac{1}{d}\) e por axioma 2.1 \(a\frac{1}{b}c\frac{1}{d} = ac\frac{1}{b}\frac{1}{d} = \frac{ac}{bd}\)

Axiomas e teoremas de ordem

Axioma 2.2 (Tricotomia) \[ \forall a,b \in \mathbb{R} \mid a < b \vee a = b \vee a > b \]

Axioma 2.3 (Continuidade) \[ \forall x \in \mathbb{R}\ \exists !\ a,b,c,d \in \mathbb{R} \mid x=a+b \ \wedge \ x = cd \]

Axioma 2.4 (Ordem) \[\forall a,b,c,d \in \mathbb{R} \mid a < b \Rightarrow c < d \Leftrightarrow ac < bd\]