11  Derivada Direcional

Definição 11.1 (Derivada de uma função na direção de um vetor) Sejam \(f: D_f \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \((x_0, y_0)\) ponto interior de \(f\) e \(\vec{u} = a\hat{\imath} + b\hat{\jmath}\) um vetor em \(\mathbb{R}^2\). A derivada direcional de \(f\) na direção do vetor \(\vec{u}\) é definida como o limite:

\[ \frac{\partial f}{\partial \vec{u}} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+at, y_0+bt) - f(x_0, y_0)}{t} \]

Em particular, as derivadas na direção dos vetores unitários \(\hat{\imath}\) e \(\hat{\jmath}\) são chamadas de derivadas parciais de \(f\) em relação a \(x\) e \(y\) respectivamente, sendo elas:

Definição 11.2 (Derivada parcial de uma função) \[ \frac{\partial f}{\partial \hat{\imath}} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t, y_0) - f(x_0, y_0)}{t} = \frac{\partial f}{\partial x} \]

\[ \frac{\partial f}{\partial \hat{\jmath}} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0, y_0+t) - f(x_0, y_0)}{t} = \frac{\partial f}{\partial y} \]