10  Propriedades da Integral

A seguir são apresentadas as propriedades da integral como teoremas, bem como suas demonstrações.

Teorema 10.1 (Adição) \[ \int_a^b [s(x) + t(x)]\,dx = \int_a^b s(x)\,dx + \int_a^b t(x)\,dx \]

Teorema 10.2 (Homogeneidade) \[ \int_a^b c\,s(x)\,dx = c \int_a^b s(x)\,dx, \ c \in \mathbb{R} \]

Teorema 10.3 (Comparabilidade) \[ \int_a^b s(x)\,dx < \int_a^b t(x) \Leftrightarrow s(x) < t(x) \ \forall \ x \in \left[a, b\right] \]

Teorema 10.4 (Aditividade com respeito ao intervalo de integração) \[ \int_a^c s(x)\,dx + \int_c^b s(x)\,dx = \int_a^b s(x)\,dx, \ a<c<b \]

Teorema 10.5 (Invariância sob translação) \[ \int_a^b s(x)\,dx = \int_{a+c}^{b+c} s(x)\,dx, \ \forall \ c \in \mathbb{R} \]

Teorema 10.6 (Dilatação ou contração do intervalo de integração) \[ \int_{ka}^{kb} s\left(\frac{x}{k}\right)\,dx = k \int_a^b s(x)\,dx, \ k > 0 \]

Teorema 10.7 (Simetria) \[ \int_b^a s(x)\,dx = -\int_a^b s(x)\,dx, \ a<b \]

Teorema 10.8 (Elemento neutro) \[ \int_a^a s(x)\,dx = 0 \]

Teorema 10.9 (Generalização do Teorema da Aditividade por Simetria e Elemento Neutro) \[ \int_a^a s(x)\,dx = 0 \]

Teorema 10.10 (Reflexão) \[ \int_b^a s(x)\,dx = \int_{-a}^{-b} s(-x)\,dx \]

Teorema 10.11 (Linearidade) \[ \int_a^b [c_1 s(x)+c_2 t(x)]\,dx = c_1 \int_a^b s(x)\,dx + c_2 \int_a^b t(x)\,dx \]