9  Propriedades da derivada

Teorema 9.1 (Adição) \[ (f + g)' = f' + g' \]

Proof. Por definição, \((f+g)'\) tem a forma: \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h} \] ao aplicarmos a propriedade do limite de uma soma \(\lim_{x\to a}f(x)+g(x) = \lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)\) temos que: \[ (f+g)'= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = f' + g' \]

Teorema 9.2 (Linearidade) \[ (cf)' = c \cdot f', \ c \in \mathbb{R} \]

Teorema 9.3 (Produto — Regra de Leibniz) \[ (fg)' = f'g + fg' \]

Proof. \[ (fg)' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} \] A ideia para demonstração é fazer com que o numerador tenha a forma das derivadas f’ e g’, Podemos fazer isso somando e subtraindo o termo \(g(x)f(x+h)\), ficando com:

\[ \begin{split} (fg)' & = \lim_{h \to 0} \frac{ \textcolor{red}{f(x+h)g(x)} + f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) \textcolor{red}{- f(x+h)g(x)}}{h} = \\ & = \lim_{h \to 0} g(x)\frac{f(x+h)- f(x)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} f(x+h)\frac{g(x+h) - g(x)}{h} \end{split} \]

No primeiro limite, é imediato de que \(\lim_{h \to 0} g(x)\frac{f(x+h)- f(x)}{h} = g(x)f'(x)\). No segundo, ao aplicarmos o \(h \to 0\) temos que \(\lim_{h \to 0} f(x+h)\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = f(x)g'(x)\).

Portanto:

\[ (fg)' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]

Teorema 9.4 (Quociente) \[ (\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \]

Proof. Fazendo uso da equivalência \(\frac{f}{g} = f\frac{1}{g}\) podemos desenvolver usando teorema 9.3, precisamos então encontrar \(\left(\frac{1}{g}\right)'\), como se segue: \[ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)} }{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{g(x)-g(x+h)}{g(x)g(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(x)-g(x+h)}{h}\frac{1}{g(x)g(x+h)} \] Temos que \(-g(x+h)+g(x) = -\left[g(x+h) - g(x)\right]\) e aplicando a propriedade do limite de um produto \[ \lim_{h \to 0} \frac{g(x)-g(x+h)}{h}\frac{1}{g(x)g(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{g(x)-g(x+h)}{h} \cdot \lim_{h \to 0}\frac{1}{g(x)g(x+h)} \] O primeiro fator é imediato ser \(-g'\) quanto ao segundo ao aplicar \(h \to 0\) temos \(\frac{1}{g^2} \ \therefore \ \left(\frac{1}{g}\right)' = \frac{-g'}{g^2}\). Voltando a alínea da demonstração, temos que: \[ \begin{split} (\frac{f}{g})' & = f'\frac{1}{g}+f\frac{-g'}{g^2} = \frac{g^2 f'-gfg'}{g^3} = \frac{f'g-fg'}{g^2} \end{split} \]

Teorema 9.5 (Regra da Cadeia — Derivação de funções compostas) \[ f(g)' = f'(g) \cdot g' \]

Proof. \[ \lim_{h \to 0} \frac{f\left[ g(x)+h\right] - f\left[g(x)\right]}{h} \]