8  Espiral de Teodoro

Sejam os vetores \(\vec{u}_1, \vec{u}_2, \dots, \vec{u}_n \in \mathbb{V}^2\), \(\hat{v}_0, \hat{v}_1, \dots, \hat{v}_n \in \mathbb{V}^2 \mid \hat{v}_i \perp \vec{u}_{i-1}\) e que \(\vec{u}_i = \vec{u}_{i-1}+\hat{v}_{i-2}\) para \(i > 1\).

Exercício 8.1 Demonstrar que \(\lvert \vec{u}_n \rvert = \sqrt{n}, n \in \mathbb{N}^*\)

Exercício 8.2 Demonstrar que \(\langle \vec{u}_n, \vec{u}_{n+1} \rangle = n\)

Seja \(\gamma\) o triângulo \(\triangle(\vec{u}_n,\vec{u}_{n+1},\vec{v}_{n-1})\) com \(\vec{u}_{n+1}\perp\vec{v}_{n-1}\) e \(\theta = \angle \vec{u}_{n}\vec{u}_{n+1}\).

Assim, temos que:

\[ \langle \vec{u}_n, \vec{u}_{n+1} \rangle = \cos\theta\lvert \vec{u}_{n+1} \rvert\lvert \vec{u}_{n} \rvert = \frac{\lvert \vec{u}_{n} \rvert}{\lvert \vec{u}_{n+1} \rvert}\lvert \vec{u}_{n+1} \rvert\lvert \vec{u}_{n} \rvert = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\sqrt{n}\sqrt{n+1}=n \]

Exercício 8.3 Determinar a função \(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\) que expresse o ângulo entre o n-ésimo vetor e o vetor n-1, para \(n > 1\)

Sendo \(\cos\theta = \angle\vec{u}_{n-1}\vec{u}_n = \frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}} \therefore \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}}\right)\)

Exercício 8.4 Determinar a função \(g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\) que expresse a área do triângulo formado por \(\vec{u}_n, \vec{u}_{n+1}, \hat{v}_{n-1}\)

Sendo \(P = \triangle(\vec{u}_n,\vec{u}_{n+1},\vec{v}_{n-1})\) com \(\vec{u}_{n+1}\perp\vec{v}_{n-1}\), \(A(P) = \frac{\lvert \vec{u}_{n} \rvert\lvert \vec{u}_{n+1} \rvert\operatorname{sen}\theta}{2} = \frac{\sqrt{n}\sqrt{n+1}\operatorname{sen}\theta}{2}\), sendo que \(\sqrt{n+1}\) é módulo da hipotenusa e \(\operatorname{sen}\theta= \frac{\lvert \vec{v}_{n-1} \rvert}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\), a equação fica como \(\frac{\sqrt{n}\sqrt{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{2} = \frac{\sqrt{n}}{2}\)

Exercício 8.5 Uma função \(h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\) que determine a coordenada \(x\) do n-ésimo vetor e uma função \(i: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\) que determine a coordenada \(y\) do n-ésimo vetor

No \(\triangle(\vec{u}_n,O_x)\) com ângulo \(\alpha\), o cateto oposto tem módulo igual à coordenada \(y_{\vec{u}_n}\) e o cateto adjacente tem módulo \(x_{\vec{u}_n}\), \(\alpha\) pode ser definido com a soma dos ângulos dos n vetores com seu vetor antecedente, ou seja \(\alpha=\angle\vec{u}_nO_x = \sum_{k=1}^n \arccos\left(\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}}\right)\), logo:

\[ \begin{aligned} x_{\vec{u}_n} &= \cos\left(\sum_{k=1}^n \arccos\left(\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}}\right)\right) \sqrt{n} \\ y_{\vec{u}_n} &= \operatorname{sen}\left(\sum_{k=1}^n \arccos\left(\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}}\right)\right) \sqrt{n} \end{aligned} \]