5 Funções Polinomiais Reais

Definição 5.1 (Função polinomial) \[ P: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n = \sum_{k=1}^n a_kx^k, \forall a \in \mathbb{R} \]

Assim, uma função polinomial é a soma de uma função constante \(a_0\), como uma função potência de expoente 0 \(a_0x^0\), e \(n\) funções potência \(a_kx^k\) sendo \(n\) o grau \(\delta\) da função e os fatores \(a_k\) os coeficientes.

Operações

Dadas as funções \(f(x) = \sum_{k=1}^n a_kx^k\) e \(g(x) = \sum_{k=1}^m b_kx^k\) estão definidas as operações:

Definição 5.2 (Polinômio Nulo) \[ f(x) = 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^n a_kx^k = 0 \Leftrightarrow a_k = 0 \]

Definição 5.3 (Igualdade) \[ \begin{aligned} f(x) = g(x) & \Leftrightarrow \sum_{k=1}^n a_kx^k = \sum_{k=1}^m b_kx^k \\ & \Leftrightarrow \sum_{k=1}^n a_kx^k - \sum_{k=1}^m b_kx^k = 0 \\ & \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{\max\{m,n\}} a_kx^k - b_kx^k = 0 \\ & \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{\max\{m,n\}} (a_k - b_k)x^k = 0 \\ & \Leftrightarrow a_k = b_k \end{aligned} \]

Definição 5.4 (Soma) \[ f(x) + g(x) = \sum_{k=1}^n a_kx^k + \sum_{k=1}^m b_kx^k = \sum_{k=1}^{\max\{m,n\}} (a_k + b_k)x^k \]

Definição 5.5 (Produto) \[ f(x)g(x) = \begin{aligned} & a_0b_0 + a_0b_1x + a_0b_2x^2 + \cdots + a_0b_mx^m \\ +\ & a_1b_0x + a_1b_1x^2 + a_1b_2x^3 + \cdots + a_1b_mx^{m+1} \\ +\ & a_2b_0x^2 + a_2b_1x^3 + a_2b_2x^4 + \cdots + a_2b_mx^{m+2} \\ & \vdots \\ +\ & a_nb_0x^n + a_nb_1x^{n+1} + a_nb_2x^{n+2} + \cdots + a_nb_mx^{m+n} \end{aligned} \equiv \sum_{k=0}^{m+n} \left( \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} \right) x^k \]

Definição 5.6 (Divisão) Na divisão \(\frac{f(x)}{g(x)}\) o objetivo é definir outros dois polinômios \(q(x) \text{ e } r(x)\) chamados quociente e resto respectivamente, tais que:

\(f(x) = g(x)q(x) + r(x)\)
\(\delta r < \delta g\)

Por (Soma), temos que \(\delta f = \max (\delta qg, \delta r)\) e como \(\delta r < \delta g \Rightarrow \delta f = \delta gq = \delta g + \delta q \Rightarrow \delta q = |\delta f - \delta g|\)