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4  Simetria de funções

Definição 4.1 (Domínio simétrico em relação à origem) Seja \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), dizemos que \(f\) tem domínio simétrico em relação à origem se, e somente se \(\forall x \in D_f \Leftrightarrow -x \in D_f\).

Definição 4.2 (Função par e ímpar) Seja a função real \(f\) com domínio simétrico em relação à origem, temos que:

  • \(f(x)\) é par \(\Leftrightarrow f(x) = f(-x)\)
  • \(f(x)\) é ímpar \(\Leftrightarrow f(x) = -f(-x)\)

Propriedades

Sejam \(\mathcal{J}\) e \(\mathcal{I}\) classes de funções tais que \(\forall f \in \mathcal{J}\) é par e \(\forall g \in \mathcal{I}\) é ímpar, temos as seguintes propriedades, expressas como teoremas.

Teorema 4.1 (Elemento oposto) \[ f(x) - f(-x) = 0, \quad g(x) + g(-x)=0 \]

Teorema 4.2 (Somas internas à classe) \[f_i(x) \pm f_j(x) \in \mathcal{J}\] \[g_i(x) \pm g_j(x) \in \mathcal{I}\]

Proof. \[h(x) = f_i(x)+f_j(x)=f_i(-x)+f_j(-x)=h(-x)\] \[h(x) = f_i(x)-f_j(x) = f_i(-x)-f_j(-x)=h(-x)\] \[h(x)=g_i(x)+g_j(x)=-g_i(x)-g_j(-x)=-h(-x)\] \[h(x)=g_i(x)-g_j(x)=g_i(x)+g_j(-x)=-h(-x)\]

Teorema 4.3 (Produto interno à classe) \[f_i(x)f_j(x) \in \mathcal{J}\] \[g_i(x)g_j(x) \in \mathcal{J}\]

Proof. \[f_i(x)f_j(x) = f_i(-x)f_j(-x)=f_i(-x)f_j(-x)\] \[g_i(x)g_j(x)=(-g_i(-x))(-g_j(-x))=g_i(-x)g_j(-x)\]

Teorema 4.4 (Produto interclasse) \(f(x)g(x) \in \mathcal{I}\)

Proof. \[fg(x) = f(x)g(x)=f(-x)(-g(-x))=-fg(-x)\]

Teorema 4.5 (Soma interclasse) Se \(\operatorname{Im} f \neq 0\) e \(\operatorname{Im} g \neq 0\) então seja \(h(x) = f(x) + g(x)\), temos que \(h(x) \notin \mathcal{J}\) e \(h(x) \notin \mathcal{I}\).

Proof. \[h(x) = f(x) + g(x) = f(-x)-g(-x) \therefore h(x) \neq h(-x) \wedge h(x) \neq -h(-x)\]

Teorema 4.6 (Decomposição em função par e ímpar) \(\forall h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) com domínio simétrico em relação à origem, podemos definir as funções \(h_{\text{ímpar}} = h(x)-h(-x) \text{ e } h_{\text{par}} = h(x)+h(-x)\) de modo que \(2h = h_{\text{par}} + h_{\text{ímpar}}\).

Proof. Parte 1 Mostremos que \(h_{\text{par}}(x) = \frac{h(x) + h(-x)}{2}\) é par:

\[ h_{\text{par}}(-x) = \frac{h(-x) + h(-(-x))}{2} = \frac{h(-x) + h(x)}{2} = h_{\text{par}}(x) \]

Parte 2 Mostremos que \(h_{\text{ímpar}}(x) = \frac{h(x) - h(-x)}{2}\) é ímpar:

\[ h_{\text{ímpar}}(-x) = \frac{h(-x) - h(-(-x))}{2} = \frac{h(-x) - h(x)}{2} = -\frac{h(x) - h(-x)}{2} = -h_{\text{ímpar}}(x) \] Parte 3 Soma das partes par e ímpar:

\[\begin{align*} h_{\text{par}}(x) + h_{\text{ímpar}}(x) = & \frac{h(x) + h(-x)}{2} + \frac{h(x) - h(-x)}{2} = \frac{2h(x)}{2} = h(x) \therefore \\ \therefore h(x) = & \frac{h(x) + h(-x)}{2} + \frac{h(x) - h(-x)}{2} \end{align*}\]

Teorema 4.7 (Paridade de função potência) Seja \(f(x) = x^n, \ n \in \mathbb{N}\) então:

  • \(f(x)\) é par se \(n\) é par
  • \(f(x)\) é ímpar se \(n\) é ímpar