14 Probabilidade Básica

Definição 14.1 (Espaço amostral e eventos) Um conjunto de $n$ eventos $\Omega$ é chamado espaço amostral, sendo os elementos $\{ \omega_1, \ldots, \omega_n \}$ chamados eventos simples e os subconjuntos $A_j \in \Omega$ tal que, $A_j$ é composto por $m$ eventos simples chamados de eventos

Definição 14.2 (Probabilidade) Dado um espaço amostral $\Omega$, probabilidade é a função $P$ que associa a cada evento simples $\omega_i$ um valor $x_i \in \left[0, 1\right]$ que representa a possibilidade de ocorrência desse evento. Formalmente $P: $ sendo $\omega_i \in \Omega \ \mid \ P(\omega_i) = 0$ chamado evento impossível e $\omega_i \in \Omega \ \mid \ P(\omega_i) = 1$ evento certo. Ficam então evidentes os axiomas:

$P(\Omega) = 1$
$P(\varnothing) = 0$
$P(A_i) = \sum_{j}^{\lvert A_i\rvert} \omega_j \mid \omega_j \in A_i$
$0 \leqslant P(A_i) \leqslant 1$

Noutras palavras, probabilidade é a abstração numérica da possibilidade de ocorrência de um certo evento dentre o conjunto de eventos possíveis num experimento. Surgem então correntes que se destacam na formulação de $P(\omega_i)$, sendo as principais:

Definição 14.3 (Probabilidade Clássica) Dado $A_i \in \Omega \ \mid \ A_i: \left\{\omega_1, \ldots, \omega_n\right\}, \lvert\Omega\rvert=N \Rightarrow P(A_i) = \frac{n}{N}$, ou seja, ao realizar um experimento, computamos como probabilidade de ocorrência de $A_i$ como a razão entre os $n$ eventos simples que compõe o evento em questão e o total de eventos simples possíveis.

Definição 14.4 (Probabilidade Frequentista) Dado $A_i \in \Omega$, a corrente frequentista sugere que, ao repetirmos um experimento sob as mesmas circunstâncias (ou próximo disso) $N$ vezes, com $N \to \infty$, a razão $\frac{n}{N}$ tende para a constante $P(A_i)$ com $n$ sendo a quantidade de ocorrências do evento em questão dentre as $N$ repetições do experimento. Formalmente:

\[ P(A_i) = \lim_{N \to \infty} \frac{N_{A_i}}{N} \]

set.seed(123)  # para reprodutibilidade

N <- seq(10, 1e4)     
Omega <- 1:6          

freq_face3 <- function(n) {
  mean(sample(Omega, n, replace = TRUE) == 3)
}

f_n <- sapply(N, freq_face3)

plot(N, f_n, type = "l", lwd = 2, col = "steelblue",
     main = "Frequência relativa da face 3",
     xlab = "Número de simulações",
     ylab = "Frequência observada")
abline(h = 1/6, col = "red", lty = 2)